數學 B3 P15–P23｜國二完整解題

① x²＋2x＋1＝x²＋2×x×1＋1²＝(x＋1)²，所以填 1、1、1。

② 12x＝2×x×6，36＝6²，所以 x²＋12x＋36＝x²＋2×x×6＋6²＝(x＋6)²，填 6、6、6。

③ x²－2x＋1＝x²－2×x×1＋1²＝(x－1)²，填 1、1、1。

④ 10x＝2×x×5，25＝5²，所以 x²－10x＋25＝(x－5)²，填 5、5、5。

(1) x²－25＝x²－5²＝(x＋5)(x－5)。

(2) 12x＝2×2x×3，所以末項要補 3²＝9：
4x²＋12x＋9＝(2x)²＋2×2x×3＋3²＝(2x＋3)²。

(3) (3x－10)²＝9x²－60x＋100，所以填 9、3。

(4) (x－7)²＝x²－14x＋49，所以填 14、7。

(1) x²＋10x＋25＝x²＋2×x×5＋5²＝(x＋5)²。

(2) 9x²－24x＋16＝(3x)²－2×3x×4＋4²＝(3x－4)²。

(3) 64x²－49＝(8x)²－7²＝(8x＋7)(8x－7)。

(1) x²－10x＋25＝(x－5)²。

(2) 16x²－24x＋9＝(4x)²－2×4x×3＋3²＝(4x－3)²。

(3) −25x²＋10x−1＝−(25x²－10x＋1)＝−(5x－1)²。

(4) 27y²＋18y＋3＝3(9y²＋6y＋1)＝3(3y＋1)²。

(5) x²4＋x＋1＝(x2)²＋2×x2×1＋1²＝(x2＋1)²。

(1) x²−400＝x²−20²＝(x＋20)(x−20)。

(2) 81x²−25＝(9x)²−5²＝(9x＋5)(9x−5)。

(3) 48x²−3＝3(16x²−1)＝3[(4x)²−1²]＝3(4x＋1)(4x−1)。

(1) 令 A＝x−1：A²＋10A＋25＝(A＋5)²，所以＝(x＋4)²。

(2) 令 A＝2x−5：9A²＋6A＋1＝(3A＋1)²＝(6x−14)²＝4(3x−7)²。

(3) 令 A＝2x＋1、B＝3(x−3)。原式＝A²＋2AB＋B²＝(A＋B)²＝(5x−8)²。

(4) (3x＋2)²−7²＝(3x＋9)(3x−5)＝3(x＋3)(3x−5)。

(5) (3x＋1)²−(x−4)²＝[(3x＋1)+(x−4)][(3x＋1)−(x−4)]＝(4x−3)(2x＋5)。

(6) 9(2x−1)²−4(x＋3)²＝[3(2x−1)]²−[2(x＋3)]²
＝[6x−3−2x−6][6x−3＋2x＋6]＝(4x−9)(8x＋3)。

(7) 4(a＋b)²＋4(a＋b)＋1＝[2(a＋b)]²＋2×2(a＋b)×1＋1²＝(2a＋2b＋1)²。

(1) −25x²＋10x−1＝−(25x²−10x＋1)＝−(5x−1)²。

(2) 9y²−25x²＋10x−1＝9y²−(5x−1)²
＝(3y)²−(5x−1)²
＝[3y+(5x−1)][3y−(5x−1)]
＝(5x＋3y−1)(3y−5x＋1)。

(1) x⁵−x＝x(x⁴−1)＝x(x²−1)(x²＋1)＝x(x−1)(x＋1)(x²＋1)。

(2) z²(z−y)=−z²(y−z)，所以原式＝(y−z)(x²−z²)＝(y−z)(x−z)(x＋z)。

(3) 1−x²−y²+x²y²＝(1−x²)−y²(1−x²)＝(1−x²)(1−y²)
＝(1−x)(1＋x)(1−y)(1＋y)。

(1) 4x²−y²−2y−1＝4x²−(y²＋2y＋1)＝(2x)²−(y＋1)²
＝(2x＋y＋1)(2x−y−1)。

(2) 4x²−9y²−4x＋1＝(4x²−4x＋1)−9y²＝(2x−1)²−(3y)²
＝(2x−1＋3y)(2x−1−3y)。

(1) x²＋4x＋4＝(x＋2)²。

(2) 4x²−20x＋25＝(2x−5)²。

(3) −25x²＋110x−121＝−(25x²−110x＋121)＝−(5x−11)²。

(1) 9x²−1＝(3x)²−1²＝(3x＋1)(3x−1)。

(2) 3x²−12＝3(x²−4)＝3(x＋2)(x−2)。

(1) 令 A＝3x＋1，A²＋6A＋9=(A＋3)²，所以＝(3x＋4)²。

(2) 令 A＝2x−5，16A²−8A＋1=(4A−1)²，所以＝(8x−21)²。

(3) 16−(2y＋3)²＝[4+(2y＋3)][4−(2y＋3)]＝(2y＋7)(1−2y)。

(4) (5x＋7)²−(2x＋11)²＝[(5x＋7)+(2x＋11)][(5x＋7)−(2x＋11)]＝(7x＋18)(3x−4)。

9x²−6x＝3x(3x−2)。
9x²−12x＋4＝(3x−2)²。

兩式共同都有的因式是 3x−2，所以選 (3)。

2(2x＋b)²＝2(4x²＋4bx＋b²)=8x²＋8bx＋2b²。

與 8x²＋24x＋a 比較：
8b＝24 → b＝3。
a＝2b²＝2×9＝18。

所以 a＝18，b＝3。

(3x−b)²＝9x²−6bx＋b²。
比較常數項：b²＝4，所以 b＝2 或 −2。
比較 x 項：a＝6b。

若 b＝2，a＝12：2a−b＝24−2＝22。
若 b＝−2，a＝−12：2a−b＝−24＋2＝−22。

答案：22、−22。

(7x−b)²＝49x²−14bx＋b²。
b²＝25，所以 b＝5 或 −5。
又 a＝14b。
因 a 必須為正整數，所以只能 b＝5，a＝70。

故選 (1) 5。

(3x＋b)²＝9x²＋6bx＋b²。
b²＝4，所以 b＝±2。
−a＝6b。因 a＞0，所以 −a＜0，故 b 必須為 −2。
−a＝6×(−2)=−12，所以 a＝12。

答案：a＝12，b＝−2。

因 9x²=(3x)²、25=5²，所以可能是 (3x＋5)² 或 (3x−5)²。

若為 (3x＋5)²＝9x²＋30x＋25：
−(a−1)=30 → a−1=−30 → a=−29。

若為 (3x−5)²＝9x²−30x＋25：
−(a−1)=−30 → a−1=30 → a=31。

(1) (x＋y)²−4xy＝x²＋2xy＋y²−4xy＝x²−2xy＋y²＝(x−y)²。

(2) 直接套用 (1)：
(265＋165)²−4×265×165＝(265−165)²＝100²＝10000。

大正方形面積＝4x²＋6x＋6x＋9＝4x²＋12x＋9。
4x²=(2x)²，9=3²，12x=2×2x×3。
所以面積＝(2x＋3)²。
因此邊長＝2x＋3。

總面積＝4x²＋mx＋49。
因為 4x²=(2x)²、49=7²，若為完全平方，應是：
(2x＋7)²＝4x²＋28x＋49。
比較中間項：m＝28。

(1) 總面積＝x²＋80x＋1600。
1600=40²，80x=2×x×40，所以：
x²＋80x＋1600＝(x＋40)²。
邊長＝x＋40。

(2) 少 1 塊後總面積＝x²＋80x＋1599。
39×41=1599，39＋41=80。
所以：
x²＋80x＋1599＝x²＋39x＋41x＋39×41
＝x(x＋39)+41(x＋39)
＝(x＋39)(x＋41)。
因此長方形兩邊為 x＋39、x＋41。

平方差：
(2x＋1)²−(x＋3)²
=[(2x＋1)−(x＋3)][(2x＋1)+(x＋3)]
＝(x−2)(3x＋4)。

結果為正質數，兩個正整數因數中必有一個是 1。
當 x＞2 時，x−2＝1 → x＝3。
3x＋4＝13。
所以原式＝1×13＝13。
x=1 時為負數、x=2 時為 0，都不是正質數。

(1) x⁴−16＝(x²)²−4²＝(x²−4)(x²＋4)
＝(x−2)(x＋2)(x²＋4)。

(2) 令 x=7：
7⁴−16=(7−2)(7＋2)(7²＋4)=5×9×53=45×53。
所以 53 可整除 7⁴−16，而且 47＜53＜59。
答案＝53。

(1)
a²−12a=(a−6)²−36；b²−16b=(b−8)²−64；c²−20c=(c−10)²−100。
代入：
(a−6)²＋(b−8)²＋(c−10)²−36−64−100＋200=0
所以 (a−6)²＋(b−8)²＋(c−10)²=0。
平方都不小於 0，因此只能各自等於 0：
a=6，b=8，c=10。
面積=6×8÷2=24。
設斜邊高 h：24=10h÷2=5h，所以 h=245。

(2)
3a²−18a=3[(a−3)²−9]；b²−8b=(b−4)²−16；2c²−20c=2[(c−5)²−25]。
代入後：
3(a−3)²＋(b−4)²＋2(c−5)²−27−16−50＋93=0。
常數恰好相消，所以：
3(a−3)²＋(b−4)²＋2(c−5)²=0。
因此 a=3，b=4，c=5。
面積=3×4÷2=6。
設斜邊高 h：6=5h÷2，所以 12=5h，h=125。